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지난 글들을 통해 도함수를 찾기 위한 몇 가지 공식들에 대해 알아보았습니다. 이번 글부터는 연쇄 법칙(Chain Rule)을 이용하여 좀 더 다양한 함수들의 도함수를 구하는 것을 목표로 합니다. 이번 글에서는 음함수의 미분법에 대해 써보려고 합니다. Implicit Differentiation (Rational Exponent Rule) n이 정수일 때, y = x^n의 도함수는 dy/dx = nx^(n - 1)임을 알고 있습니다. 그렇다면, n이 정수가 아닐 때에도 이 공식은 참일까요? $$\frac{d}{dx}(x^a)=ax^(a-1)$$ 지난 글에서 이항 정리와 도함수의 정의를 이용하여 정수 a에 대해 위 사실을 증명했습니다. 이제 이 공식을 정수를 넘어 유리수까지 확장하여 a = m/n일 때에도 ..

Product Rule $$(uv)'=u'v+uv'$$ 위의 공식을 곱 규칙(Product Rule)이라 부릅니다. 함수 u와 v가 곱해진 형태의 함수의 도함수를 구할 때 사용합니다. 간단한 예시를 보겠습니다. \begin{align*} u &= x^n\\ v &= \textrm{sin }x\\ uv &= x^n\textrm{ sin }x \end{align*} 위와 같이 함수를 설정하고, (uv)'를 구해보겠습니다. x^n의 도함수와 sin x의 도함수는 지난 글들을 통해 알고 계실 것입니다. $$\frac{d}{dx}x^n\textrm{ sin }x=nx^{n-1}\textrm{ sin }x + x^n\textrm{ cos }x$$ 반복적으로 적용하는 것도 가능합니다! 그래서 다음과 같은 형태도 도함..

모든 것을 미분할 수 있게 되기 위해 이번 글에서는 몇 가지 유용한 공식을 더 소개하고자 합니다. 도함수 공식은 2가지 유형으로 나눌 수 있습니다. 하나는 Power Rule이나, 1/x의 도함수와 같은 특정한 경우입니다. 이전 글들을 통해 다뤘었죠. 다음은 일반적인 경우에 적용할 수 있는 공식입니다. 특정 함수에 대한 공식이 아니라 (u + v)' = u' + v'나 (cu)' = cu'(c는 상수)와 같은 보편적인 경우입니다. 다항식의 도함수를 얻기 위해서는 두 공식 모두 필요하겠죠. 이번에는 몇 가지 공식을 더 소개한 뒤에 sin 함수와 cos 함수를 미분하는 것에 초점을 맞춰보겠습니다. Derivative of a Sum $$(u + v)'(x) = u'(x) + v'(x)$$ 이번에는 위의 공식..

지난 글에서, 기하학적으로 해석했을 때 도함수를 접선의 기울기로 정의했습니다. 1/x의 도함수를 구하는 과정을 예제로 풀어보았고, Power Rule을 증명해보기도 했습니다. 이번 글에서는 도함수를 변화율로 해석하고, 극한의 개념을 명확히 하며, 연속성을 설명하기 위해 극한을 사용하는 방법에 대해 설명하겠습니다. Derivative as Rate of Change 전 글에 이어서 계속해서 도함수에 대해 이야기해보겠습니다. 앞서 서술한 것처럼 지난 글에서는 도함수를 기하학적 해석을 통해 접선의 기울기로 정의했습니다. 이번에는 도함수를 변화율로 해석하겠습니다. Δx 만큼의 시간 동안 Δy 만큼 움직이는 물체의 위치를 기록한 함수 f가 있다고 하겠습니다. Δy/Δx는 해당 시간동안 움직인 물체의 위치의 평균 ..

당분간은 미분(Differentiation)에 대한 이야기를 하고자 합니다. 모든 측정과 관련해서 미분의 중요성 때문에 미분은 문이과를 가리지 않고 대부분의 분야에서 굉장히 많이 사용됩니다. 그래서 대부분의 이공계 과정에서는 시작을 미적분학으로 하게 되고, 대부분의 기초는 미적분학입니다. 이번 글에서는 도함수에 대해 알아보겠습니다. Geometric Interpretation of Derivatives 어떤 함수의 그래프에서 한 점에서의 접선을 찾는 기하학적 문제를 살펴보겠습니다. 함수 f(x)가 있고, 이 함수 위의 두 점 P와 Q가 있습니다. 고등학교에서, 접점이 주어질 때의 접선의 방정식에 대해 배웠습니다. 점 P를 통과하고, 기울기가 m인 접선에 대해 다음의 방정식으로 쓰여진다는 것을 알고 있습니..