Differentiation - Definition and Basic Rules(1)

당분간은 미분(Differentiation)에 대한 이야기를 하고자 합니다. 모든 측정과 관련해서 미분의 중요성 때문에 미분은 문이과를 가리지 않고 대부분의 분야에서 굉장히 많이 사용됩니다. 그래서 대부분의 이공계 과정에서는 시작을 미적분학으로 하게 되고, 대부분의 기초는 미적분학입니다. 이번 글에서는 도함수에 대해 알아보겠습니다.

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Geometric Interpretation of Derivatives

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어떤 함수의 그래프에서 한 점에서의 접선을 찾는 기하학적 문제를 살펴보겠습니다.

Figure 1: A graph with secant line and tangent line. by Foxism.

함수 f(x)가 있고, 이 함수 위의 두 점 P와 Q가 있습니다. 고등학교에서, 접점이 주어질 때의 접선의 방정식에 대해 배웠습니다. 점 P를 통과하고, 기울기가 m인 접선에 대해 다음의 방정식으로 쓰여진다는 것을 알고 있습니다.

$$y-y_{0}=m(x-x_{0})$$

바로 이 방정식이죠. 우리가 알아야할 것이 두 가지가 있습니다. 하나는 점 P의 좌표입니다. 여기서는 (x_0, f(x_0)) 겠죠. 두 번째는 기울기입니다. 위 방정식에서 m에 해당하는 것이죠. 미적분학에서는 m 대신 f의 도함수를 사용해서 f'(x_0)라고 부릅니다. 이게 미적분학에서 다룰 부분이고, 이번 게시글에서 다룰 부분이기도 합니다.

다시 한 번 정확하게 말해보자면, x=x_0일 때 y=f(x)인(점 P에서의) 함수 f의 도함수 f'(x_0)는 점 P에서 함수 f의 기울기를 의미하는 것이라고 할 수 있습니다.

조금 더 구체적으로 설명을 해보겠습니다. m이 어떤 값인지 알아내야겠죠. 왜 하필 저런 기울기일까요? 그 의문에 답을 해보고자 합니다.

빨간 점선으로 표현된 직선 PQ를 볼까요? Q를 점점 P에 가깝게 옮기게 되면 직선 PQ의 기울기는 초록 실선으로 표현된 점 P에서의 접선의 기울기에 가까워지게 될 것입니다. 그렇게 Q가 사실상 P와 같아지게 되면, 직선 PQ도 사실상 점 P에서의 접선과 같아지게 될 것입니다. 이 순간, Q를 변수로 생각해봅시다. P가 (x_0, f(x_0)) 였으니, Q는 (x_0 + Δx, f(x_0 + Δx))가 되겠죠. 이 때, PQ의 기울기는 다음과 같이 생각할 수 있습니다.

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}$$

이는 직선 PQ 뿐만이 아니라 모든 직선에 해당되는 것이죠. 그리고, 여기서 Δx가 0으로 가는 극한값을 취하게 되면 이것이 점 P에서의 접선의 기울기가 될 것이고, 이는 m과 같게 되는 것입니다.

$$m=f'(x_0)=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$$

조금 더 나은 공식으로 만들기 위해 분자인 Δf를 더 명확하게 적어보자면, f의 변화는 점 Q의 y값과 점 P의 y값의 차이와 같으니, 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

$$\Delta f=f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$$

따라서, 위의 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$m=\underset{\textrm{derivative of }f \textrm{ at }x_0}{\underbrace{f'(x_0)}}=\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\underset{\textrm{derivative of }f \textrm{ at }x_0}{\underbrace{\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}}}$$

이번 글에서 가장 중요한 공식이라고 생각합니다.

간단한 예시로, 위 공식을 사용해서 함수 f(x)를 1/x로 두고 풀어보겠습니다.

Figure 2: Graph of 1/x

위 공식에 따르면, 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

$$\begin{align*}
\frac{\Delta f}{\Delta x} &= \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\\
 &= \frac{\frac{1}{x_0 + \Delta x} - \frac{1}{x_0}}{\Delta x}\\
 &= \frac{(x_0)(x_0 + \Delta x)}{(x_0)(x_0 + \Delta x)}\frac{\frac{1}{x_0 + \Delta x} - \frac{1}{x_0}}{\Delta x}\\
 &= \frac{\frac{(x_0)(x_0 + \Delta x)}{x_0 + \Delta x} - \frac{(x_0)(x_0 + \Delta x)}{x_0}}{(x_0)(x_0 + \Delta x)\Delta x}\\
 &= \frac{1}{\Delta x}\frac{x_0 - (x_0 + \Delta x)}{(x_0)(x_0 + \Delta x)}\\
 &= \frac{1}{\Delta x}\frac{-\Delta x}{(x_0)(x_0 + \Delta x)}\\
 &= \frac{-1}{(x_0)(x_0 + \Delta x)}
\end{align*}$$

이제, 마지막으로 Δx를 0으로 보내는 극한을 취하게 되면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

$$f'(x_0)=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{-1}{(x_0)(x_0 + \Delta x)}=\frac{-1}{x_0^2}$$

실제로 그래프에 포함된 몇 군데의 점과 대조해보면 절대값이 작아질수록 기울기가 가파르게 증가하고, 반대로 절대값이 커질수록 기울기가 완만해지는 것을 알 수 있습니다. 또한, x_0가 제곱이 되기 때문에 기울기는 항상 음수라는 것을 알 수 있고, 실제로 그래프를 보아도 기울기의 차이 만이 있을 뿐이지 모든 구간의 점에 대해 접선이 오른쪽으로 기울어짐을 알 수 있습니다.

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Power Rule

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다음의 함수의 도함수를 구해보겠습니다.

$$f(x)=x^n \textrm{ where } n=1, 2, 3 \cdots$$

우선, 앞서 배웠던 공식을 적용해보겠습니다.

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}$$

여기서, 이항 정리(Binomial Theorem)을 적용하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}=\frac{nx^{n-1}\Delta x + \cdots + (\Delta x )^n}{\Delta x}=nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}\Delta x \cdots + nx(\Delta x)^{n-2}+(\Delta x)^{n-1}$$

마지막으로 Δx를 0으로 보내는 극한을 취하게 되면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

$$\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}(nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}\Delta x \cdots + nx(\Delta x)^{n-2}+(\Delta x)^{n-1})=nx^{n-1}$$

따라서, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^n=nx^{n-1}$$

이를 멱 규칙(Power Rule)이라고 부르고, 다음과 같이 앞으로도 종종 사용하게 될 것입니다.

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(3x^4+5x^2)=12x^3+10x$$

다음 글에서 계속 하겠습니다.