Differentiation - Definition and Basic Rules(4)

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Product Rule

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$$(uv)'=u'v+uv'$$

위의 공식을 곱 규칙(Product Rule)이라 부릅니다. 함수 u와 v가 곱해진 형태의 함수의 도함수를 구할 때 사용합니다.  간단한 예시를 보겠습니다.

\begin{align*}
u &= x^n\\ 
v &= \textrm{sin }x\\
uv &= x^n\textrm{ sin }x
\end{align*}

위와 같이 함수를 설정하고, (uv)'를 구해보겠습니다. x^n의 도함수와 sin x의 도함수는 지난 글들을 통해 알고 계실 것입니다.

$$\frac{d}{dx}x^n\textrm{ sin }x=nx^{n-1}\textrm{ sin }x + x^n\textrm{ cos }x$$

반복적으로 적용하는 것도 가능합니다! 그래서 다음과 같은 형태도 도함수를 구할 수 있습니다.

$$\begin{align*}
(uvw)' &= u'(vw)+u(vw)'\\ 
&= u'vw + u(v'w+vw')\\
&= u'vw+uv'w+uvw'
\end{align*}$$

자, 그럼 이제 왜 이것이 가능한지 살펴보겠습니다.

$$\begin{align*}
(uv)' &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(uv)(x + \Delta x)-(uv)(x)}{\Delta x}\\ 
&= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x)-(u)(x)(v)(x)}{\Delta x}
\end{align*}$$

우리는 다음의 사실을 알고 있습니다.

$$u'=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{u(x + \Delta x)-u(x)}{\Delta x}$$

그리고 다음을 기억해주세요.

$$u(x + \Delta x)v(x)-u(x+\Delta x)v(x) = 0$$

매우 당연한 식이죠? 0을 더하는 것은 표현식의 값에 영향을 미치지 않기 때문에 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$(uv)'=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{u(x + \Delta x)v(x)-u(x)v(x) + u(x + \Delta x)v(x + \Delta x)-u(x + \Delta x)v(x)}{\Delta x}$$

조금만 더 정리를 하면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

$$(uv)'=\lim_{\Delta x \to 0}[(\frac{u(x + \Delta x)-u(x)}{\Delta x})v(x)+u(x + \Delta x)(\frac{v(x + \Delta x)-v(x)}{\Delta x})]$$

u와 v가 미분이 가능하다면 연속이라는 사실을 알고 있습니다. 그래서 합의 극한은 극한을 더하는 것으로 표현이 가능하죠.

$$[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x}]v(x) + \lim_{\Delta x \to 0}(u(x + \Delta x)[\frac{v(x + \Delta x)-v(x)}{\Delta x}])$$

익숙한 형태들이 보이죠? 다음과 같이 정리할 수 있겠습니다.

$$(uv)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$$

이제 곱 규칙을 알게 되었으니, 이전보다 더 많은 함수들의 도함수를 찾을 수 있게 되었습니다. "모든 것을 미분하기"위해 몫(분수)를 미분하는 공식에 대해서도 알아보겠습니다.

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Quotient Rule

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우선, 규칙은 다음과 같습니다.

$$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$

이제 이 규칙이 왜 사실인지에 대해 알아보겠습니다. 도함수의 정의를 이용해보도록 하겠습니다.

$$(\frac{u}{v})'=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{u(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x}$$

다루기 힘들어 보이네요. 분자를 좀 단순하게 변화할 필요가 있어 보입니다. Δu = u(x + Δx) - u(x)와 Δv = v(x + Δx) - v(x)를 이용해서 정리를 해보겠습니다.

$$\begin{align*}
\frac{u(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)} &= \frac{u + \Delta u}{v + \Delta v} - \frac{u}{v}\\ 
 &= \frac{(u + \Delta u)v - u(v + \Delta v)}{(v + \Delta v)v}\\ 
 &= \frac{uv + (\Delta u)v - uv + u(\Delta v)}{(v + \Delta v)v}\\ 
 &= \frac{(\Delta u)v - u(\Delta v)}{(v + \Delta v)v}
\end{align*}$$

이제 분자가 좀 단순해졌으니, 몫을 미분할 때 사용할 수 있겠습니다.

$$\begin{align*}
\frac{\frac{u(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} &= \frac{\frac{(\Delta u)v - u(\Delta v)}{(v + \Delta v)v}}{\Delta x}\\ 
 &= \frac{1}{\Delta x}\frac{(\Delta u)v - u(\Delta v)}{(v + \Delta v)v}\\ 
 &= \frac{(\frac{\Delta u}{\Delta x})v - u(\frac{\Delta v}{\Delta x})}{(v + \Delta v)v}
\end{align*}$$

v는 미분 가능하고, 그렇기 때문에 연속인 것으로 간주됩니다. 따라서, 다음이 성립합니다

$$\lim_{x \to 0}v(x + \Delta x) = v(x)$$

따라서, 다음과 같이 정리가 가능합니다.

$$\frac{(\frac{\Delta u}{\Delta x})v-u(\frac{\Delta v}{\Delta x})}{(v + \Delta v)v} \to \frac{v(\frac{du}{dx})-u(\frac{dv}{dx})}{v ^ 2} \textrm{ as } \Delta x \to 0$$

이것을 바탕으로, 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.

$$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$

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Chain Rule

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곱 규칙은 uv와 같은 함수의 곱의 형태로 주어진 함수의 도함수를 구하는데 사용됩니다. 연쇄 법칙(Chain Rule)은 f(g(x))처럼 합성된 함수의 도함수를 구하는데 사용됩니다. x에 대한 함수 g가 있고, g에 대한 함수 f가 있는 것이죠. 그리고 우리는 x에 f의 변화에 대해 알고 싶습니다. 이럴 때, 다음과 같이 중간 변수를 활용해서 표현할 수 있습니다.

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\Delta f}{\Delta g}\frac{\Delta g}{\Delta x}$$

곱셈을 통해 Δg는 생략이 가능하기 때문입니다. 이렇게 나타낸 식에 극한을 사용하여 Δx가 0이라는 극한값을 가지게 한다면, 다음과 같이 표현됩니다.

$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}$$

이것이 연쇄 법칙입니다. 합성 함수의 도함수는 곱의 형태로 표현이 됩니다. 예를 들어, y = (sin t)^10이라는 식이 있다면, "내부의 함수"로 x = sin t를 생각할 수 있고, "외부의 함수"로 y = x^10을 생각할 수 있습니다. 따라서, 이러한 형태의 함수의 도함수를 구한다고 할 때 y = x^10의 도함수는 dy/dx = 10x^9임을 알고 있고, x = sin t의 도함수는 dx/dt = cos t라는 사실을 알고 있으니, 이를 이용하여 연쇄 법칙을 사용하면 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\textrm{ sin}^{10} t = 10x^9 \cdot \textrm{cos } t$$

하지만, 이렇게 놓고 보면 x가 굉장히 거슬립니다. 그렇기 때문에 x를 다음과 같이 바꿔줄 필요가 있습니다.

$$\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\textrm{ sin}^{10} t = 10x^9 \cdot \textrm{cos } t=10\textrm{sin}^9t \cdot \textrm{cos }t$$

연쇄 법칙에 대한 표기를 정리하여 올리는 것으로, 연쇄 법칙에 대한 설명은 여기서 마치겠습니다.

$$\frac{d}{dx}(f \circ g)(x)=\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$$

다음 글에서 뵙겠습니다.