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Introduction to Ordinary Differential Equations 미분 방정식과 관련된 내용은 다른 카테고리에서 심도있게 다룰 예정이긴 하지만, differential을 사용하기 적당한 예제라고 생각되어 지금 잠시 다뤄볼까 합니다. 미분 방정식의 가장 간단한 형태는 다음과 같습니다. $$\frac{dy}{dx}=f(x)$$ 이 방정식에 대한 해답은 역도함수를 구하는 것(적분)인데, 다음과 같죠. $$y=\int f(x) dx$$ 다음의 예제를 통해 조금 더 알아보겠습니다. $$(\frac{d}{dx} + x)y = 0$$ (d/dx + x)는 양자역학에서 소멸자로 알려져 있습니다. 위 방정식은 바닥 상태에서의 조화 진동자에 관한 방정식인데 솔직히 뭐 이 정도 지식까지는 필요 없죠. 위..

Differentials 미분에서 적분으로 넘어가기에 앞서, differentials에 대해 알 필요가 있습니다. 함수 y = f(x)에 대해 y의 differential는 다음과 같습니다. $$dy = f'(x)dx$$ y = f(x)이기 때문에 f의 differential이라고 부르기도 합니다. dy와 f'(x)dx는 differentials라고 불립니다. $$\frac{dy}{dx}=f'(x)$$ 위와 같이 differentials의 분수 형태로 생각할 수도 있습니다. 이 발상에 익숙해져야 할 필요가 있는데, 이 카테고리인 일변수 미적분학을 비롯하여 다변수 미적분학에서 다루게 될 것입니다. Differentials and Linear Approximation 선형 근사는 f(x)와 f'(x)의 값을..

Rolle's Theorem S ⊂ R이고, 함수 f : S → R가 있을 때 x∈X의 근방 x∈U⊆X가 임의의 y∈U에 대하여 f(y) ≤ f(x)이면 x는 f의 극대점이라 하고, f(x)를 f의 극댓값이라 합니다. 반대로 f(y) ≥ f(x)이면 x는 f의 극소점이라 하고, f(x)를 f의 극솟값이라 합니다. 그리고 f: [a, b] → R이 c∈(a, b)에서 극댓값 또는 극솟값을 갖고 c에서 미분이 가능하다면 f'(c) = 0입니다. 증명은 다음과 같습니다. f가 c∈(a, b)에서 극댓값을 갖고, (c−δ, c+δ) ⊂ (a, b)를 만족하는 0 이상의 δ가 존재하고 ∀x ∈ (c−δ, c+δ), f(x) ≤ f(c)이면 x_n을 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $$x_n=c - \frac{\de..

Another Moving Exponent 다음의 값을 구해봅시다. $$\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n$$ 엄밀히 말하자면 이는 미적분학 문제가 아닙니다. 하지만 값을 구하는 과정에서 미적분학이 사용이 되는데, 이 값을 구하려고 하는 2가지 이유가 있습니다. 첫 번째 이유는 값이 매우 흥미롭다는 것이고, 두 번째 이유는 n이 극한을 통해 무한대로 간다는 점입니다. 이처럼 지수가 변화하는 형태면 양변에 로그를 취해 지수를 끌어내렸습니다. $$\ln (1 + \frac{1}{n})^n=n\ln (1 + \frac{1}{n})$$ 이제, 생각을 달리하여 n이 무한대라는 극한값을 취한다는 생각 대신 Δx = 1/n이라 가정하고 Δx가 0으로 간다고 생각하여 식을 바꾸어 보겠..

이제 마지막으로 지수함수와 로그함수의 도함수에 대해 이야기를 하고자 합니다. 아직까지 미분한 적이 없는 함수지만, 삼각함수만큼 기본적인 함수들이기 때문에 필수적인 함수들입니다. a^x and the Definition of the Derivative 우리의 목표는 a^x의 도함수를 구하는 것입니다. 우선, 도함수의 정의를 채워 넣는 것으로 시작을 하겠습니다. $$\frac{d}{dx}a^x=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^{x + \Delta x}-a^x}{\Delta x}$$ 이때, 합의 형태로 표현된 지수는 곱을 통해 분리할 수 있기 때문에, 분자는 다음과 같이 바꿀 수 있습니다. $$\begin{align*} \frac{d}{dx}a^x &= \lim_{\Delta x \to 0..

지난 글들을 통해 도함수를 찾기 위한 몇 가지 공식들에 대해 알아보았습니다. 이번 글부터는 연쇄 법칙(Chain Rule)을 이용하여 좀 더 다양한 함수들의 도함수를 구하는 것을 목표로 합니다. 이번 글에서는 음함수의 미분법에 대해 써보려고 합니다. Implicit Differentiation (Rational Exponent Rule) n이 정수일 때, y = x^n의 도함수는 dy/dx = nx^(n - 1)임을 알고 있습니다. 그렇다면, n이 정수가 아닐 때에도 이 공식은 참일까요? $$\frac{d}{dx}(x^a)=ax^(a-1)$$ 지난 글에서 이항 정리와 도함수의 정의를 이용하여 정수 a에 대해 위 사실을 증명했습니다. 이제 이 공식을 정수를 넘어 유리수까지 확장하여 a = m/n일 때에도 ..

Product Rule $$(uv)'=u'v+uv'$$ 위의 공식을 곱 규칙(Product Rule)이라 부릅니다. 함수 u와 v가 곱해진 형태의 함수의 도함수를 구할 때 사용합니다. 간단한 예시를 보겠습니다. \begin{align*} u &= x^n\\ v &= \textrm{sin }x\\ uv &= x^n\textrm{ sin }x \end{align*} 위와 같이 함수를 설정하고, (uv)'를 구해보겠습니다. x^n의 도함수와 sin x의 도함수는 지난 글들을 통해 알고 계실 것입니다. $$\frac{d}{dx}x^n\textrm{ sin }x=nx^{n-1}\textrm{ sin }x + x^n\textrm{ cos }x$$ 반복적으로 적용하는 것도 가능합니다! 그래서 다음과 같은 형태도 도함..

모든 것을 미분할 수 있게 되기 위해 이번 글에서는 몇 가지 유용한 공식을 더 소개하고자 합니다. 도함수 공식은 2가지 유형으로 나눌 수 있습니다. 하나는 Power Rule이나, 1/x의 도함수와 같은 특정한 경우입니다. 이전 글들을 통해 다뤘었죠. 다음은 일반적인 경우에 적용할 수 있는 공식입니다. 특정 함수에 대한 공식이 아니라 (u + v)' = u' + v'나 (cu)' = cu'(c는 상수)와 같은 보편적인 경우입니다. 다항식의 도함수를 얻기 위해서는 두 공식 모두 필요하겠죠. 이번에는 몇 가지 공식을 더 소개한 뒤에 sin 함수와 cos 함수를 미분하는 것에 초점을 맞춰보겠습니다. Derivative of a Sum $$(u + v)'(x) = u'(x) + v'(x)$$ 이번에는 위의 공식..