CODICT
Differentiation - Implicit Differentiation and Inverse Functions(2) 본문
Differentiation - Implicit Differentiation and Inverse Functions(2)
Foxism 2023. 4. 27. 15:38이제 마지막으로 지수함수와 로그함수의 도함수에 대해 이야기를 하고자 합니다. 아직까지 미분한 적이 없는 함수지만, 삼각함수만큼 기본적인 함수들이기 때문에 필수적인 함수들입니다.
a^x and the Definition of the Derivative
우리의 목표는 a^x의 도함수를 구하는 것입니다. 우선, 도함수의 정의를 채워 넣는 것으로 시작을 하겠습니다.
$$\frac{d}{dx}a^x=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^{x + \Delta x}-a^x}{\Delta x}$$
이때, 합의 형태로 표현된 지수는 곱을 통해 분리할 수 있기 때문에, 분자는 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.
$$\begin{align*}
\frac{d}{dx}a^x &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^{x + \Delta x}-a^x}{\Delta x}\\
&= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^{x}a^{\Delta x}-a^x}{\Delta x}\\
&= \lim_{\Delta x \to 0}a^x\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\\
&= a^x\lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}
\end{align*}$$
a^x가 앞으로 나올 수 있는 이유는, Δx가 (0에 접근하는 방향으로 ) 변화하는 반면에, a와 x는 고정되어 있기 때문에 상수로 취급이 가능하기 때문입니다.
이제 a^x에 대한 도함수를 찾는 첫 단추를 꿰었습니다. (a^x)'는 a^x만큼 우리가 구한 무언가를 곱한 꼴이었네요. 이 무언가를 M(a)라고 칭하겠습니다. 그리고 이 M(a)를 이용해서, 도함수를 다시 표현해 보자면 다음과 같습니다.
$$\frac{d}{dx}a^x=M(a)a^x$$
M(a)에 대해서는 나중에 구하도록 하겠습니다.
Slope of the tangent to a^x
우리는 M(a)를 다음과 같이 정의했습니다.
$$M(a)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}$$
그리고 이 정의를 통해 다음과 같이 a^x의 도함수를 정의했습니다.
$$\frac{d}{dx}a^x=M(a)a^x$$
따라서, a^x의 도함수를 이해하기 위해서는 자연스럽게 M(a)에 대해서도 이해를 해야겠죠. 제가 보여줄 것은 M(a)를 바라보는 2개의 다른 시선입니다.
우선, a^x의 도함수의 정의에서 x = 0일 때를 가정해 보면 다음을 얻을 수 있습니다.
$$\begin{align*}
\frac{d}{dx}a^x &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^{x + \Delta x}-a^x}{\Delta x} =g(x)\\
g(0) &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^{0 + \Delta x}-a^0}{\Delta x}\\
&= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\\
&= M(a)
\end{align*}$$
따라서, M(a)는 x = 0일 때의 a^x의 도함수의 값이라고 생각할 수 있습니다.
도함수는 어떠한 함수가 표현된 그래프의 접선의 기울기임을 기억하세요. 따라서, M(a)는 x = 0에서의 y = a^x의 그래프의 기울기라고도 생각할 수가 있습니다. a^x의 그래프의 기울기는 a가 어떠한 수가 오는지에 따라 달라집니다. 따라서, M(a)의 기울기 역시 a의 값에 따라 변화하겠죠.
a^x의 도함수의 정의를 다시 생각해 보면, x = 0에서의 a^x의 도함수의 값만 알 수 있다면 모든 점에서의 접선의 기울기를 구할 수 있게 될 것입니다.
사인함수의 도함수를 구할 때 x가 0으로 가는 극한값을 가질 때 sin x / x의 값을 구하는 것이 굉장히 힘들었던 기억이 있습니다. 이 값은 그저 x = 0일 때의 sin x의 도함수의 값이었죠. 이 때도 마찬가지로 사인함수의 도함수를 구하기 위해 x = 0일 때의 도함수의 값을 알아야 했습니다. 그래도 이때에는 단위원을 활용해서 어떻게 잘했던 것 같은데... 쉽지 않네요.
Definition of e
M(a)를 다시 한번 적어봅시다.
$$M(a)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}$$
M(a)는 x = 0에서의 a^x의 도함수를 구하는데 필요한 값이죠. 그리고 x = 0에서의 y = a^x의 기울기이기도 합니다. M(a)를 이해하는 가장 쉬운 방법은 계산을 시도하려 하지 말고 M(e) = 1과 같은 숫자로 정의하는 것입니다.
실제로 이 등식을 만족하는 e가 존재하는지는 잠시 뒤로 미뤄두고, M(e) = 1이니 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\frac{d}{dx}e^x=e^x$$
아직 위 등식을 만족시키는 e가 무엇인지 모르고, 실제로 존재하는지 조차도 모릅니다. 이 e의 존재를 어떻게 증명할 수 있을까요?
a가 증가함에 따라 y = a^x는 더 가파르게 됩니다. 만약 a = 1이라면, 모든 x에 대해 a^x = 1이 되고, x = 0에서의 접선의 기울기는 0이 되죠. 기울기를 정확하게 계산할 수는 없지만, a = 2일 때와 a = 4일 때의 할선을 이용해서 기하학적으로 M(a)의 기울기를 추정해 봅시다.
2^x일 때의 그래프를 보면, (0, 1)에서 (1, 2)까지의 할선의 기울기는 1입니다. x = 0일 때의 기울기는 이 할선보다 작네요. 따라서, M(2) < 1이라고 할 수 있습니다.
4^x일 때의 그래프를 보면, (-1/2, 1/2)부터 (1, 0)까지의 할선의 기울기는 1입니다. 이를 통해 x = 0일 때의 기울기는 이 할선의 기울기보다 크다는 사실을 알 수 있습니다(M(4) > 1). 함수 M이 연속적이라고 가정하고, 2와 4 사이의 어딘가에서 x = 0일 때 1이 되는 수가 있을 거라고 결론을 내릴 수 있습니다. 따라서 M(e) = 1로 가정한다면 다음이 성립합니다.
$$\lim_{h \to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$$
Natural log (inverse function of e^x)
M(a)를 더 잘 이해하기 위해, ln(x)라는 자연로그 함수에 대해 알아볼까 합니다. e^x의 역함수인데, 다음과 같이 정의됩니다.
$$\textrm{If } y=e^x \textrm{, then ln}(y)=x$$
다음과 같이도 쓸 수 있습니다.
$$\textrm{If }w=\textrm{ln}(x) \textrm{, then }e^w=x$$
더 알아보기 전에, 몇 가지 속성을 알아보겠습니다.
$$\begin{align*}
\ln(x_1x_2) &= \ln x_1 + \ln x_2\\
\ln 1 &= 0\\
\ln e &= 1
\end{align*}$$
이 속성들은 e의 정의, 지수법칙, e^x의 역함수로 정의된 ln x의 정의라는 사실들을 통해 알아낼 수 있습니다. e^x의 그래프의 개형도 알고 있으니, 이를 y = x를 기준으로 대칭시켜 ln x의 개형도 알아낼 수 있습니다. e^x는 항상 양수이기 때문에, ln x의 정의역은 양수뿐입니다. e^0 = 1이기 때문에, ln 1 = 0이고, e^x와 y축이 교차하는 부분에서 접선의 기울기로 1을 갖기 때문에 ln x가 x축과 교차하는 부분에서의 접점의 기울기는 1이 됩니다.
e^x의 도함수는 e^x라는 사실을 알고 있습니다. ln x의 도함수는 음함수의 미분법을 이용하여 구할 수 있습니다. w = ln x라고 가정한 뒤, w의 도함수를 구하겠습니다. 이걸 직접적으로 구할 수 있는 방법은 없지만, w = ln x로 가정하였기 때문에 e^w = e^(ln x) = x가 된다는 사실을 알고 있습니다. 이제 음함수의 미분법을 사용하여 양변의 도함수를 구하도록 하겠습니다.
$$\begin{align*}
\frac{d}{dx}(e^w) &= \frac{d}{dx}(x)\\
\frac{d}{dw}(e^w)\frac{dw}{dx} &= 1\\
e^w\frac{dw}{dx} &= 1\\
\frac{dw}{dx} &= \frac{1}{e^w}=\frac{1}{x}\\
\therefore \frac{d}{dx}(\ln(x)) &= \frac{1}{x}
\end{align*}$$
Method 1: Convert a^x to something with base e and use the chain rule
ln x는 e^x의 역함수이기 때문에, a를 e^(ln a)로 쓸 수 있습니다. 따라서 다음이 성립합니다.
$$a^x=(e^{\ln a})^x=e^{x\ln a}$$
이때, ln a는 상수로 취급이 되기 때문에, 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
$$\frac{d}{dx}e^{\ln a}x=(\ln a)e^{(\ln a)x}$$
그리고 이는 다음과 같습니다.
$$\frac{d}{dx}a^x=(\ln a)a^x$$
a^x의 도함수는 M(a)a^x와 같으므로, M(a)를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$M(a)=\ln a$$
Method 2: Logarithmic differentiation
어떤 경우에는 u를 미분하는 것보다 ln u를 미분하는 것이 더 쉽다는 것을 알게 되었습니다. u의 도함수를 구하기 위해 ln u의 도함수를 구하는 것이죠. 연쇄 법칙에 의해 ln u의 도함수는 다음과 같습니다.
$$\frac{d}{du}\ln u=\frac{d \ln u}{du}\frac{du}{dx}$$
그리고 우리는 다음의 사실을 알고 있습니다.
$$\frac{d}{du}\ln u=\frac{1}{u}\frac{du}{dx}$$
따라서, 다음이 성립합니다.
$$(\ln u)'=u' / u$$
이를 통해 a^x의 도함수를 구할 수 있습니다.
$$\begin{align*}
u &= a^x\\
\ln u &= \ln(a^x)\\
\ln u &= x \ln a\\
(\ln u)' &= \ln a
\end{align*}$$
이는 ln a가 상수로 취급되기 때문에 가능한 매우 쉬운 방법입니다. (ln u)' = u' / u이고, u' = u(ln u)'이기 때문에, a^x의 도함수는 a^x ln a = (ln a)a^x가 되는 것이죠. 첫 번째 방법과 유사하지만, 밑을 e로 바꿀 필요가 없습니다. 이와 같은 방식으로 x^x의 도함수도 구할 수 있습니다.
다음 글에서 뵙겠습니다.
