Applications of Differentiation - Mean Value Theorem, Antiderivatives and Differential Equations(3)

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Introduction to Ordinary Differential Equations

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미분 방정식과 관련된 내용은 다른 카테고리에서 심도있게 다룰 예정이긴 하지만, differential을 사용하기 적당한 예제라고 생각되어 지금 잠시 다뤄볼까 합니다.

미분 방정식의 가장 간단한 형태는 다음과 같습니다.

$$\frac{dy}{dx}=f(x)$$

이 방정식에 대한 해답은 역도함수를 구하는 것(적분)인데, 다음과 같죠.

$$y=\int f(x) dx$$

다음의 예제를 통해 조금 더 알아보겠습니다.

$$(\frac{d}{dx} + x)y = 0$$

(d/dx + x)는 양자역학에서 소멸자로 알려져 있습니다. 위 방정식은 바닥 상태에서의 조화 진동자에 관한 방정식인데 솔직히 뭐 이 정도 지식까지는 필요 없죠. 

위 방정식을 조금 정리하면 다음과 같이 표기를 바꿀 수 있습니다.

$$\begin{align*}
(\frac{d}{dx} + x)y &= 0\\ 
\frac{dy}{dx}+xy &= 0\\ 
\frac{dy}{dx} &= -xy\\
\frac{dy}{y} &= -x \; dx
\end{align*}$$

그리고 양변에 대해 부정적분을 하면 다음과 같이 됩니다.

$$\begin{align*}
\int\frac{dy}{y} &= -\int x \; dx\\ 
\ln y + c_1 &= -\frac{x^2}{2}+c_2\\ 
\ln y &= -\frac{x^2}{2} + c \; (c=c_2-c_1)\\ 
e^{\ln y} &= e^{c -x^2/2}\\ 
y &= e^ce^{-x^2/2}\\ 
y &= Ae^{-x^2/2}\;(A=e^c)
\end{align*}$$

Figure 1: Graph of y=e^(-x^2/2)

y = ae^(-x^2/2)(a = e^c ≠ 0)으로 바뀌었네요. 이제 이 방정식을 미분해보겠습니다.

$$\begin{align*}
y &= ae^{-x^2/2}\\ 
\frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx}ae^{-x^2/2}\\ 
 &= ae^{-x^2/2} \cdot -2x/2\\ 
 &= ae^{-x^2/2} \cdot -x\\ 
 &= y \cdot -x\\ 
\frac{dy}{dx} &= -xy
\end{align*}$$

이제 처음에 구했던 dy\dx의 형태가 되었네요. 따라서, y = ae^(-x^2/2)이 이 미분 방정식의 해입니다. 그래프를 살펴보면 알 수 있다시피 a = 1이 되겠네요.

위의 예시를 통해 알 수 있다시피, 미분 방정식에서 변수를 분리하는 것은 미분 계산을 일반적인 대수 연산 처럼 계산할 수 있다는 장점을 가질 수 있게 해줍니다. 그 뒤에는 미분과 적분을 적절히 활용하여 풀어나가면 되는 것이죠.

더 자세한 내용은 다른 카테고리에서 다루는 것으로 하고, 다음 글에서 뵙겠습니다.