Applications of Differentiation - Mean Value Theorem, Antiderivatives and Differential Equations(1)

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Rolle's Theorem

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S ⊂ R이고, 함수 f : S → R가 있을 때 x∈X의 근방 x∈U⊆X가 임의의 y∈U에 대하여 f(y) ≤ f(x)이면 x는 f의 극대점이라 하고, f(x)를 f의 극댓값이라 합니다. 반대로 f(y) ≥ f(x)이면 x는 f의 극소점이라 하고, f(x)를 f의 극솟값이라 합니다. 그리고 f: [a, b] → R이 c∈(a, b)에서 극댓값 또는 극솟값을 갖고 c에서 미분이 가능하다면 f'(c) = 0입니다.

 

증명은 다음과 같습니다.

f가 c∈(a, b)에서 극댓값을 갖고, (c−δ, c+δ) ⊂ (a, b)를 만족하는 0 이상의 δ가 존재하고 ∀x ∈ (c−δ, c+δ), f(x) ≤ f(c)이면 x_n을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$x_n=c - \frac{\delta}{2n} \in(c - \delta, c)$$

그리고 x_n을 c의 극한값을 갖게 한다면 다음과 같습니다.

$$f'(c) = \lim_{n \to \infty}\frac{f(x_n)-f(c)}{x_n-c} \geq 0$$

이제 y_n을 다음과 같이 쓰겠습니다.

$$y_n=c+\frac{\delta}{2n} \in (c, c + \delta)$$

그러면 y_n을 c의 극한값을 갖게할 때 다음과 같습니다.

$$f'(c) = \lim_{n \to \infty}\frac{f(y_n)-f(c)}{y_n-c} \leq 0$$

그러므로 f'(c) = 0입니다. 극소의 경우도 극대와 같은 흐름과 방법으로 증명할 수 있습니다.

이러한 사실을 바탕으로, Rolle의 정리는 다음을 의미합니다.

f: [a, b] → R이 연속이고, 구간 (a, b)에서 미분가능하다면, f(a) = f(b)일 때 f'(c) = 0을 만족하는 c ∈ (a, b)가 존재한다.

 

2가지 경우로 나누어 증명할 수 있습니다.

1. 구간 [a, b]의 모든 x에 대해 f(x) = 0인 경우

이 경우에는 a와 b 사이의 모든 값에 대해 f가 상수로 표현됩니다. 그리고 상수함수의 도함수는 0이기 때문에 이 정리를 만족합니다.

2. 구간 (a, b)의 어떤 x에 대해 f(x) ≠ 0인 경우

위에서 설명한 극한값 정리에 의해 f는 구간 [a, b]에서 최댓값과 최솟값을 가집니다. 가설에 따르면 f(a) = f(b) = 0이고, f(x)는 구간 (a, b)의 어떤 x에 대해 0이 아닙니다. 따라서, f는 구간 (a, b)의 어떤 점 c1에서 극대값을 가지거나, 이 구간의 어떤 점 c2에서 극솟값을 가지게 될 것입니다.

c를 c1 또는 c2 둘 중 하나라고 가정하면, 구간 (a, b)의 모든 x에 대해 f(c) ≥ f(x)를 만족하거나, f(c) ≤ f(x)를 만족합니다.어느 쪽이든 f가 c에서 극값을 가진다는 것을 의미합니다. 또한, c에서 f는 미분이 가능하기 때문에 앞서 극값과 관련된 정의를 이용하여 f'(c) = 0임을 의미합니다.

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The Mean Value Theorem

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평균값 정리는 말 그대로 "평균"에 관한 정리인데, f : [a, b] → R가 연속이고, 구간 (a, b)에서 미분가능하다면, 구간 (a, b)의 점 c가 다음을 만족한다는 것이 내용입니다.

$$f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$$

증명은 다음과 같습니다.

g : [a, b] → R를 다음과 같이 정의하겠습니다.

$$g(x) = f(x) - f(b) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(b - x)$$

그러면 g(a) = g(b) = 0입니다. 따라서 Rolle의 정리에 의해 구간 (a, b)에서 g'(c) = 0를 만족하는 점 c가 존재하고, 다음이 성립합니다.

$$0 = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

이렇게 놓고 보니 Rolle의 정리가 평균값 정리의 특수한 경우로 보이기도 합니다. 다르게 보면 Rolle의 정리를 일반화한 경우를 평균값 정리로 볼 수도 있겠습니다. 평균값 정리는 영어로 부를 때 줄여서 앞 글자만 따와 MVT라고 부르기도 합니다.

다음 글에서 뵙겠습니다.