Differentiation - Implicit Differentiation and Inverse Functions(3)

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Another Moving Exponent

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다음의 값을 구해봅시다.

$$\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n$$

엄밀히 말하자면 이는 미적분학 문제가 아닙니다. 하지만 값을 구하는 과정에서 미적분학이 사용이 되는데, 이 값을 구하려고 하는 2가지 이유가 있습니다. 첫 번째 이유는 값이 매우 흥미롭다는 것이고, 두 번째 이유는 n이 극한을 통해 무한대로 간다는 점입니다. 이처럼 지수가 변화하는 형태면 양변에 로그를 취해 지수를 끌어내렸습니다.

$$\ln (1 + \frac{1}{n})^n=n\ln (1 + \frac{1}{n})$$

이제, 생각을 달리하여 n이 무한대라는 극한값을 취한다는 생각 대신 Δx = 1/n이라 가정하고 Δx가 0으로 간다고 생각하여 식을 바꾸어 보겠습니다.

$$\lim_{n \to \infty}[n\ln (1 + \frac{1}{n})]=\lim_{\Delta x \to 0}[\frac{1}{\Delta x}\ln (1 + \Delta x)]$$

단순한 말장난 같아보이지만, ln (1 + Δx)에서 0 = ln 1을 뺀다면 익숙한 형태로 만들어지게 됩니다.

$$\begin{align*}
\lim_{\Delta x \to 0}[\frac{1}{\Delta x}ln(1 + \Delta x)] &= \lim_{\Delta x \to 0}[\frac{1}{\Delta x}(\ln (1 + \Delta x) - \ln 1)] \\ 
 &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\ln(1 + \Delta x) - \ln 1}{\Delta x}\\ 
 &= \left.\begin{matrix}
\frac{d}{dx}\ln x
\end{matrix}\right| _{x=1}\\ 
 &= \left.\begin{matrix}
\frac{1}{x}
\end{matrix}\right| _{x=1}\\ \\ 
 &= 1
\end{align*}$$

자, 이제 원래 질문에 대한 답을 알아내기 위해 돌아가야겠죠.

$$\begin{align*}
\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n &= \lim_{n \to \infty}e^{\ln [(1 + \frac{1}{n})^n]}\\ 
 &= e^{\lim_{n \to \infty}\ln[(1 + \frac{1}{n})^n]}\\ 
 &= e^1\\ 
 &= e
\end{align*}$$

그리고 계산기를 통해 이 값에 대해 꽤 정확도 높은 값을 얻어낼 수 있습니다.

$$(1 + \frac{1}{1000000})^{1000000} \cong 2.718280469$$

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Derivatives of Hyperbolic Sine and Cosine

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Hyperbolic Sine은 다음과 같이 표현됩니다.

$$\sinh (x)=\frac{e^x-e^{-x}{2}$$

Hyperbolic Cosine은 다음과 같이 표현됩니다.

$$\cosh (x)=\frac{e^x+e^{-x}{2}$$

그리고, 다음의 관계가 성립합니다.

$$\begin{align*}
\frac{d}{dx} \sinh(x) &= \frac{d}{dx}(\frac{e^x - e^{-x}}{2}) = \frac{e^x - (-e^{-x})}{2}=\cosh (x)\\ 
\frac{d}{dx} \cosh(x) &= \sinh (x)
\end{align*}$$

cos x의 도함수와는 다릅니다. 참고로, 삼각함수와 비슷하게, cosh^2 x - sinh^2 x = 1이 성립합니다. 증명은 다음과 같습니다.

$$\begin{align*}
\cosh^2 x - \sinh^2 x &= (\frac{e^x + e^{-x}}{2})^2 - (\frac{e^x - e^{-x}}{2})^2\\ 
\cosh^2 x - \sinh^2 x &= \frac{1}{4}(e^{2x}+2e^xe^{-x}+e^{-2x}) - \frac{1}{4}(e^{2x}-2+e^{-2x}) = \frac{1}{4}(2 + 2) = 1
\end{align*}$$

왜 "Hyperbolic"이라고 불릴까요? u = cosh x라 하고, v = sinh x라 하면, 다음이 성립합니다.

$$u^2 - v^2 = 1$$

이 형태가 hyperbola(쌍곡선)의 형태를 띄기 때문입니다. 같은 이유로, 삼각함수는 원의 방정식 모양을 띄어 circular function이라고도 합니다.

다음 글에서 뵙겠습니다.