Applications of Differentiation - Mean Value Theorem, Antiderivatives and Differential Equations(2)

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Differentials

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미분에서 적분으로 넘어가기에 앞서, differentials에 대해 알 필요가 있습니다. 함수 y = f(x)에 대해 y의 differential는 다음과 같습니다.

$$dy = f'(x)dx$$

y = f(x)이기 때문에 f의 differential이라고 부르기도 합니다. dy와 f'(x)dx는 differentials라고 불립니다.

$$\frac{dy}{dx}=f'(x)$$

위와 같이 differentials의 분수 형태로 생각할 수도 있습니다. 이 발상에 익숙해져야 할 필요가 있는데, 이 카테고리인 일변수 미적분학을 비롯하여 다변수 미적분학에서 다루게 될 것입니다.

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Differentials and Linear Approximation

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선형 근사는 f(x)와 f'(x)의 값을 기반으로 f(x + Δx)의 값을 추정할 수 있게 도와줍니다. 이 과정에서 differentials를 사용하는데, y = f(x) = x^(1/3) 이라는 함수를 통해 (64.1)^(1/3)의 근사치를 계산하는 방법을 알아보겠습니다. x_0를 64로 두면 y_0 = 64^(1/3) = 4임을 알 수 있습니다. 그리고 dy = f'(x)dx = 1/3x^(-2/3)이라는 정의에 의해 다음 역시 알아낼 수 있습니다.

$$\begin{align*}
dy &= \frac{1}{3}(64)^{(-\frac{2}{3})}dx\\ 
 &= \frac{1}{3}\frac{1}{16}dx\\ 
 &= \frac{1}{48}dx
\end{align*}$$

우리는 (64.1)^(1/3)의 근사치를 원하기 때문에, x + dx = 64.1이라 하면 dx = 0.1 = 1/10입니다. 64.1 = x_0 + dx에서 f(x)는 y_0 + Δy와 정확하게 일치하고(Δy의 정의 덕분에 그렇습니다), y_0 + dy에 근사할 것입니다. 근본적으로 점 (x_0 + dx, y_0 + dy)는 점 (x_0, y_0)와 매우 작은 차이입니다. 물론 1/10은 무한히 작지는 않은데, 이것이 '근사치'라고 부르는 이유입니다.

$$\begin{align*}
(64.1)^{\frac{1}{3}} &\approx y + dy\\ 
 &\approx 4 + \frac{1}{48}dx\\ 
 &\approx 4 + \frac{1}{48}\frac{1}{10}\\ 
 &\approx 4.002
\end{align*}$$

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Introduction to Antiderivatives

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새로운 컨셉과, 표기법입니다.

$$G(x) = \int g(x)dx$$

이를 g의 역도함수라고 부릅니다.

$$G'(x) = g(x)$$

$$dG = g(x)dx$$

위와 같은 표기와 같은 의미입니다. 

이 표기법은 differential dx를 포함하고 있고, 적분기호라고 불리는 기호 역시 포함하고 있습니다.

위의 g의 역도함수는 g의 부정적분이라는 또다른 이름으로 불릴 수도 있습니다. G(x)가 g(x)의 역도함수이면, G'(x) = g(x)라는 이야기입니다.

g의 역도함수를 찾기 위해(g를 적분하기 위해), 무엇의 도함수가 g인지를 찾아내야 합니다. 이는 도함수를 찾는 것 만큼이나 쉽지 않은 일인데, sin x의 역도함수를 찾는 예제와 함께 그 과정에 대해 알아보겠습니다.

g(x) = sin x라 가정하고 시작하겠습니다. 이 함수는 어떠한 함수의 도함수입니다. 그 함수에 대해 찾아야겠죠.

-cos x의 도함수가 sin x이기 때문에, G(x) = -cos x입니다.

그런데, G(x) = -cos x + 7 역시도 G'(x) = sin x입니다. 상수의 도함수는 0이기 때문입니다. 따라서, G(x)에 어떠한 상수를 더하더라도 sin x의 역도함수로 취할 수 있게 됩니다. 따라서 다음과 같이 작성이 가능합니다.

$$\int \sin x dx = -\cos x + c$$

그리고 이를 sin x의 부정적분이라 부릅니다. c가 아무 상수가 될 수 있고, 이는 부정값이기 때문입니다. 

다음 글에서 뵙겠습니다.